Міністерство освіти і науки молоді та спорту України Черкаський державний технологічній університет Кафедра радіотехніки Звіт з лабораторної роботи №4 з дисципліни «Математичні методи обчислення» Перевірив:  ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4 ЧИСЕЛЬНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ Мета роботи: опанувати методи чисельного диференціювання, що ґрунтуються на першій і другій формулах Ньютона, формулі Стирлінга. 1. Стислі теоретичні відомості При вирішенні практичних задач часто потрібно знайти похідні вказаних порядків від функції y = f(x), яка задана таблично. Можливо також, що в зв’язку з складністю аналітичного виразу функції f(x), безпосереднє диференціювання її ускладнене. В таких випадках, як правило, використовують наближене диференціювання. Для виведення формул наближеного диференціювання замінюють дану функцію f(x) на потрібному відрізку [a; b] інтерполювальною функцією Р(х) (найчастіше поліномом), а потім вважають, що f′ (x)= P′ (x), (5.1) при а ≤ х ≤ b. Аналогічні роблять при знаходженні похідних вищих порядків функцій f(x). 1. Розглянемо формули чисельного диференціювання, які ґрунтуються на першій і другій інтерполяційних формулах Ньютона. Нехай існує функція f(x), яка задана в рівновіддалених точках хі, (

) відрізка [a; b] за допомогою значень yi = f(xi). Для знаходження на [a; b] похідних y′ = f′(x), y′′ = f′′ (x) і т.д. функцію y наближено замінимо першим поліномом Ньютона, побудованим для системи вузлів х0, х1, …, хk (k ≤ n). Отримаємо формулу чисельного диференціювання виду
(5.2) де
,

. Здійснюючи перемноження біномів, отримаємо
. Оскільки
, то
. (5.2) Таким же способом можливо розрахувати і похідні
будь-якого порядку. Іноді необхідно знаходити похідні функції в фіксованих табличних точках xi. В цьому випадку формули чисельного диференціювання спрощуються. Оскільки кожне табличне значення можна вважати за початкове, то припустимо, що x = x0 (при цьому q = 0). Тоді на основі першої і другої інтерполяційних формул Ньютона будемо мати:
, (5.4) та
(5.5) Перша інтерполяційна формула Ньютона використовується для початкових строк таблиці, друга інтерполяційна формула Ньютона – для останніх. Виведені формули чисельного диференціювання на основі інтерполяційних поліномів Ньютона мають певний недолік, вони використовують лише однобічні значення функції при
. Значно більшу точність мають симетричні формули диференціювання, які враховують значення даної функції у як при
, так і при
. Ці формули називаються центральними формулами диференціювання. Розглянемо одну з них на прикладі формули Стирлінга. Нехай
– система рівновіддалених точок з кроком

і
– відповідні значення даної функції
. Вважаючи
і замінюючи наближено функцію у інтерполяційним поліномом Стирлінга, будемо мати:
(5.6) Ця формула використовується для інтерполювання в середині таблиці при значеннях q, близьких до нуля
. Враховуючи, що
, шляхом диференціювання многочлена Стирлінга (5.6) отримуємо

Хід роботи: Варіант №5 За допомогою інтерполяційних формул Ньютона і Стирлінга знайти значення першої і другої похідної в точці x = 2,4 + 0,1·n для функції, заданої таблично (табл. 1). Номер варіанту завдання n відповідає номеру студентів за списком у групі. x = 2,4 + 0,1·n=2,4+0,5=2,9 x y Δyi Δ2yi Δ3yi  2.6 3.782 0.163 -0.065 0.028  2.8 3.945 0.098 -0.037   3.0 4.043 0.061    3.2 4.104      Всі необхідні дані маємо в таблиці і використаємо для наступних обчислень. На основі інтерполяційних формул Ньютона і Стирлінга отримаємо:



 2. Результати розрахунків перевірити за допомогою пакету MathСAD. Приклад програми перевірки
Висновок: при виконанні даної лабораторної роботи я опанував методи чисельного диференціювання, що ґрунтуються на першій і другій формулах Ньютона, формулі Стирлінга. Свої знання закріпив практично при виконанні індивідуального завдання.